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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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4. Calcular.
c) $\int\left(\frac{\cos (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+1\right) dx$

Respuesta

Vamos de a poco porque es un ejercicio de esos que son fuleritos (por no decir que son una cagada y que los odiamos jeje).


Usamos la sustitución \(u = \sqrt{x} + 1\). 

$ \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}}+1\right) dx $


Si \(u = \sqrt{x} + 1\), entonces, \(du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx\). Despejo $dx$ y me queda \(2\sqrt{x} \, du = dx\).
  

 $ \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}}+1\right) 2\sqrt{x} \, du  $


Ahora nos queda algo terrible!!! Na mentira, no voy a ser trágica, pero te queda la variable $u$ y la variable $x$ en la misma integral. ¿Cómo vas a hacer para sacarla? Bueno, es algo que quizás no lo notes a simple vista, pero podés hacer la distributiva del $2\sqrt{x}$ con los términos que están en el paréntesis. 

La integral se convierte entonces en esto:

$ \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}} . 2\sqrt{x} +2\sqrt{x} \right) dx = \int\left(2 \cos(u) + 2\sqrt{x}\right) du $


Y ahí fijate que se pudo cancelar la "$\sqrt{x}$" del numerador con la del denominador. 


En fin, la cuestión es que nos quedó:

$ \int\left(2 \cos(u) + 2\sqrt{x}\right) du $



Y sí, todavía tenemos una $\sqrt{x}$ que nos queremos sacar de encima, porque acá la gracia es que queremos que nos quede la variable $u$ y que $x$ desaparezca. Un gran tip para hacer esto es trabajar con la expresión de $u$:


Como \(u = \sqrt{x} + 1\), puedo despejar $x$ y me queda así: \(x = (u-1)^2\), entonces, si reemplazo esta expresión en $2\sqrt{x}$ me quedaría:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{(u-1)^2} = 2(u-1)$



Eeeeeentonces la integral se convierte en:

$ \int\left(2 \cos(u) + 2(u-1)\right) du $
Ahora sí, ya sin la $x$ separamos la integral:
$ \int 2 \cos(u) \, du + \int 2(u-1) \, du $
La primera integral es:
$ 2 \int \cos(u) \, du = 2 \sin(u) $
La segunda integral es:
$ \int 2(u-1) \, du = 2 \int u \, du - 2 \int 1 \, du = 2 \left(\frac{u^2}{2}\right) - 2u = u^2 - 2u $
Combinando los resultados:
$ \int\left(\frac{\cos (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+1\right) dx = 2 \sin(u) + u^2 - 2u + C $
Sustituyendo \(u = \sqrt{x} + 1\):
$ 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} + 1)^2 - 2(\sqrt{x} + 1) + C $ Y sí, no me odies pero en el medio te quedó un cuadrado de un binomio: $(\sqrt{x} + 1)^2$, que se resuelve fácil con la fórmula, dale: $(\sqrt{x} + 1)^2 = \sqrt{x}^2 + 2 . \sqrt{x} . 1+ 1^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$ Ahora sí, seguimos:

$ 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + x + 1 + 2\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2 + C $   $ 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + x - 1 + C $  

Si vos lo hiciste de otra forma más fácil, dejá el desarrollo en los comentarios 😊
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Avatar Erica 30 de junio 02:20
Espero que a alguien le sirva. Como hay una suma lo resolvi separando la integral y se me hizo mucho mas facil. 

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Avatar Magdalena 22 de junio 16:06
@Erica holaa, me quedo igual, pero porque te queda otra X al final?

Avatar Benja 27 de junio 20:14
Hola Juli. Me confundió un poco tu procedimiento así que me puse solo y de resultado me quedó "2sen(√x+1)+x+C".
Sabes qué podré haber hecho mal?
Avatar Julieta Profesor 28 de junio 17:05
@Benja Hola Benja, ahí lo desarrollé más el ejercicio. Quizás ahora lo entiendas mejor
Avatar Abel 26 de junio 23:49
hola profe de donde sale ese -1 en el resultado?

Avatar Julieta Profesor 28 de junio 17:06
@Abel Del cuadrado de hacer +1 -2. Ahi desarrollé más el ejercicio. 
Avatar Alicia 20 de junio 18:58
Hola Juli, no entiendo de dónde salió x= (u - 1)^2. Y que paso con √x que está dividiendo.
Avatar Julieta Profesor 28 de junio 17:06
@Alicia Hola Ali, ahí desarrollé un poco más el ejercicio, para que sea más claro.
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